Fat somme

(∑k=0nxk)p=∑k1+...+kn=pp!k1!k2!...kn!x1k1x2k2...xnkn(\sum_{k=0}^n x_k)^p = \sum_{k_1 + ... + k_n = p} \frac{p!}{k_1!k_2!...k_n!} x_1^{k_1}x_2^{k_2} ... x_n^{k_n}

Cauchy Schwarz

∣<x,y>∣≤∣∣x∣∣ ∣∣y∣∣|<x,y>| \leq ||x|| \ ||y||

Inégalité de Markov

P(X>=ϵ)≤E(X)ϵP(X>=\epsilon) \leq\frac{ E(X)}{\epsilon}

Inégalité de Bienaymé-Tchevychev

P(∣X−E(x)∣≥ϵ)≤V(X)ϵ²P(|X-E(x)| \geq \epsilon) \leq \frac{V(X)}{\epsilon²}

Produit de Cauchy

∑n=0+∞∑k=0+∞unvk=∑n=0+∞∑k=0nunvn−k\sum_{n=0}^{+\infin} \sum_{k=0}^{+\infin} u_n v_k = \sum_{n=0}^{+\infin} \sum_{k=0}^{n} u_n v_{n-k}

Transformée d'Abel

∑k=0n(uk−uk−1)vk=unvn−∑k=0n−1uk(vk+1−vk)\sum_{k=0}^n (u_k-u_{k-1})v_k = u_nv_n -\sum_{k=0}^{n-1}u_k(v_{k+1}-v_k)

Inégalité de Jensen

f(∑k=1nλkxk)≤∑k=1nλkf(xk)f(\sum_{k=1}^n \lambda_k x^k) \leq \sum_{k=1}^n \lambda_kf(x_k)

Inégalité arithmético-géomtrique

(∏k=1nxk)1n≤∑k=1nxkn(\prod_{k=1}^n x_k)^{\frac{1}{n}} \leq \sum_{k=1}^n \frac{x_k}{n}

Formule de Cauchy

ap=12πrp∫02πf(reiθ)e−ipθdθa_p = \frac{1}{2\pi r^p} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta})e^{-ip\theta}d\theta

Variance

V(X)=GX′′(1)+GX′(1)−GX′(1)²V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) -G_X'(1)²

Dérivée de la réciproque

(f−1)′=1f′∘f−1(f^{-1})' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}

Somme de Riemann

Sn=b−an∑k=0n−1f(a+kb−an)→n→+∞∫abfS_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(a+k \frac{b-a}{n}) \rightarrow_{n\rightarrow +\infin} \int_a^b f

Matrice EijE_{ij}

EijEkl=δjkEilE_{ij}E_{kl} = \delta_{jk} E_{il}

Coordonnée en produit scalaire

Aij=⟨ei,Aej⟩A_{ij} = \langle e_i,Ae_j\rangle

Parallélogramme

∣∣x+y∣∣²+∣∣x−y∣∣²=2(∣∣x∣∣²+∣∣y∣∣²)||x+y||² + ||x-y||² = 2(||x||² + ||y||²)

Polarisation

⟨x,y⟩=∣∣x+y∣∣²−∣∣x−y∣∣²4\langle x,y \rangle = \frac{||x+y||²-||x-y||²}{4}