Relations

Relation d'équivalence

• Réflexive $xRx$
• Symétrique $xRy \Leftrightarrow yRx$
• Transitive $xRy$ et $yRz \Rightarrow xRz$

Relation d'ordre

• Réflexive $xRx$
• Antisymétrique $xRy$ et $yRx \Leftrightarrow yRx$
• Transitive $xRy$ et $yRz \Rightarrow xRz$
• Total : tous les éléments sont comparables

Topologie

Norme

• Séparation $N(a) \geq 0$ et $N(a) = 0 \Leftrightarrow a = 0$
• Homogénéité $N(\lambda a) = |\lambda|N(a)$
• Inégalité triangulaire $N(a+b) \leq N(a) + N(b)$

Distance

• Séparation $d(a,b) \geq 0$ et $d(a,b) = 0 \Leftrightarrow a=b$
• Symétrie $d(b,a) = d(a,b)$
• Inégalité triangulaire $d(a,c) \leq d(a,b) + d(b,c)$

Structures

Groupe

• $*$ est associative
• $*$ a un élément neutre $e$
• $\forall x \in G, \exists y \in G / x*y=y*x=e$
• Abélien/commutatif : $x*y = y*x$

Sous-Groupe

• $e \in H$
• Stabilité par produit
• Stabilité par inverse

Anneau

• $(A,+)$ est un groupe abélien
• $\times$ est associative
• $\times$ a un élément neutre $1_a$
• $\times$ est distributive à gauche et droite par rapport à $+$

Sous-Anneau

• $(B,+)$ est un sous-groupe abélien de $(A,+)$
• $1_a \in B$
• $B$ est stable par $\times$

Corps

• $(K,+,\times)$ est un anneau non nul
• $\times$ est commutative
• $\forall e \in U(K) = K^* = K$ \ {$0$} $, \exists x \in K / ex= xe = 1_a$

Sous-Corps

• $(B,+)$ est un sous-groupe abélien de $(KA,+)$
• $1_K \in B$
• $B$ est stable par $\times$
• $U(B)$ est stable par $^{-1}$

Idéal

• $(I,+)$ est un sous groupe
• $AI \subset I$

Structures linéaires

$K$-espace vectoriel

• $K$ est un corps
• $(E,+)$ est un groupe abélien de neutre $0$
• $.$ est une loi de composition interne

Loi de composition interne

• Associativité mixte $\lambda.(\mu.x) = (\lambda\mu).x$
• Distributivité mixte $(\lambda + \mu).x=\lambda .x + \mu .x$ et $\lambda.(x+y)=\lambda.x+\lambda.y$
• $1.x = x$

$K$-algèbre

• $(\mathcal L(E), +, .)$ est un $K$-espace vectoriel
• $(\mathcal L(E), + ,\circ)$ est un anneau
• $\lambda.(u\circ v) = (\lambda .u)\circ v = u \circ (\lambda .v)$

Espace Euclidien

Produit Scalaire

• Bilinéaire
• Symétrique
• Définie
• Positif