II intervalle de R\R

JJ intervalle de R\R

FF partie de R\R

a,b∈Ra,b \in \R

Suite de fonctions

Continuité

((fn)n≥0∈(C0(I,F))N(fn)n≥0 CVU sur tout segment de I vers f)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in (\mathcal C^0(I,F))^\N \\ (f_n)_{n\geq0} \ \text{CVU sur tout segment de } I \text{ vers } f \end{pmatrix}

⇒(f∈C0(I))\Rightarrow \begin{pmatrix} f \in \mathcal C^0(I) \end{pmatrix}

Interversion des limites

((fn)n≥0 CVU vers f∈F(I,F)∀n∈N,fn(x)→x→aln∈F,a∈Iˉ∖I)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \ \text{CVU vers} \ f \in \mathcal F(I,F) \\ \forall n \in \N, f_n(x) \rightarrow_{x\rightarrow a} l_n \in F, a \in \bar{I}\setminus I \end{pmatrix}

⇒((ln)n≥0 CV vers lf(x)→x→al)\Rightarrow \begin{pmatrix} (l_n)_{n\geq 0} \ \text{CV vers} \ l \\ f(x) \rightarrow_{x\rightarrow a} l \end{pmatrix}

Dérivation

((fn)n≥0∈(C1(I,F))N(fn)n≥0 CVS vers f(fn′)n≥0 CVU sur tout segment de I)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in (\mathcal C^1(I,F))^\N \\ (f_n)_{n\geq0} \text{ CVS vers } f\\ (f_n')_{n\geq0} \text{ CVU sur tout segment de } I \end{pmatrix}

⇒(f∈C1f′=g(fn)n≥0 CVU sur tout segment de I)\Rightarrow \begin{pmatrix} f \in \mathcal C^1 \\ f' = g \\ (f_n)_{n\geq0} \text{ CVU sur tout segment de } I \end{pmatrix}

Primitivation

((fn)n≥0∈(C1(I,F))N(fn)n≥0 CVU sur tout segment de I vers f)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in (\mathcal C^1(I,F))^\N \\ (f_n)_{n\geq0} \text{ CVU sur tout segment de } I \text{ vers } f \end{pmatrix}

⇒(∀n∈N,hn primitive de fn nulle en a∈I(hn)n≥0 CVS sur I vers la primitive de f nulle en aet meˆme CVU sur tout segment de I)\Rightarrow \begin{pmatrix} \forall n \in \N, h_n \text{ primitive de } f_n \text{ nulle en } a \in I \\ (h_n)_{n\geq0} \text{ CVS sur } I \text{ vers la primitive de } f \text{ nulle en } a \\ \text{et même CVU sur tout segment de I} \end{pmatrix}

Intégration sur un segment

((fn)n≥0∈(C0([a,b],F))N(fn)n≥0 CVU vers f sur [a,b] vers f)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in (\mathcal C^0([a,b],F))^\N \\ (f_n)_{n\geq0} \ \text{CVU vers} \ f \ \text{sur} \ [a,b] \text{ vers } f \end{pmatrix}

⇒(∫abfn→n→+∞∫abf)\Rightarrow \begin{pmatrix} \int_a^b f_n \rightarrow_{n\rightarrow +\infin} \int_a^b f \end{pmatrix}

Intégration sur un intervalle

((fn)n≥0∈(Cpm0(I))N(fn)n≥0 CVS vers f∈Cpm0(I)∃φ:I→R inteˊgrable sur I / ∀n∈N,∣fn∣≤φ)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in (\mathcal C^0_{pm}(I))^\N \\ (f_n)_{n\geq0} \ \text{CVS vers} \ f \in \mathcal C^0_{pm}(I)\\ \exists \varphi :I\rightarrow \R \ \text{intégrable sur} \ I \ / \ \forall n \in \N, |f_n| \leq \varphi \end{pmatrix}

⇒(f est inteˊgrable sur I∫Ifn→n→+∞∫If)\Rightarrow \begin{pmatrix} f \ \text{est intégrable sur} \ I \\ \int_I f_n \rightarrow_{n\rightarrow +\infin} \int_I f \end{pmatrix}

Série de fonctions

Continuité

((fn)n≥0∈(C0)N en a∑n≥0fn CVU tout segment de I)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in \mathcal (C^0)^\N \text{ en a}\\ \sum_{n\geq0} f_n \text{ CVU tout segment de } I \end{pmatrix}

⇒((x→∑n=0+∞un(x))∈C0(I))\Rightarrow \begin{pmatrix} (x\rightarrow \sum_{n=0}^{+\infin}u_n(x)) \in \mathcal C^0(I) \end{pmatrix}

Interversion des limites

(S(x)=∑n=0+∞un(x) CVU sur I∀n∈N,un(x)→x→aln∈F,a∈Iˉ∖I)\begin{pmatrix} S(x) = \sum_{n=0}^{+\infin}u_n(x) \ \text{CVU sur } I \\ \forall n \in \N, u_n(x) \rightarrow_{x\rightarrow a} l_n \in F, a \in \bar{I}\setminus I \end{pmatrix}

⇒(∑n≥0ln CVS(x)→x→a∑n=0+∞ln)\Rightarrow \begin{pmatrix} \sum_{n\geq 0} l_n \text{ CV}\\ S(x) \rightarrow_{x\rightarrow a} \sum_{n=0}^{+\infin} l_n \end{pmatrix}

Dérivation

((fn)n≥0∈(C1(I,F))N∑n≥0fn CVS vers f∈F(I,F)∑n≥0fn′ CVU sur tout segment de I)\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in \mathcal (C^1(I,F))^\N \\ \sum_{n\geq0} f_n \text{ CVS vers } f\in \mathcal F(I,F)\\ \sum_{n\geq0} f_n' \text{ CVU sur tout segment de } I \end{pmatrix}

⇒(f∈C1(I)f′=∑n=0+∞fn′∑n≥0fn CVU sur tout segment)\Rightarrow\begin{pmatrix} f \in \mathcal C^1(I) \\ f' = \sum_{n=0}^{+\infin} f_n' \\ \sum_{n\geq0} f_n \text{ CVU sur tout segment} \end{pmatrix}

Intégration sur un segment

((fn)n≥0∈(C0([a,b],F))N∑n≥0fn CVU sur [a,b])\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in (\mathcal C^0([a,b],F))^\N \\ \sum_{n\geq0} f_n \text{ CVU sur } [a,b] \end{pmatrix}

⇒(∫ab∑n=0+∞fn(x)dx=∑n=0+∞∫abfn(x)dx)\Rightarrow\begin{pmatrix} \int_a^b\sum_{n=0}^{+\infin} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{+\infin}\int_a^b f_n(x) dx \end{pmatrix}

Intégration sur un intervalle

((fn)n≥0∈(Cpm0(I,F))N∑n≥0∫I∣fn(t)∣dt CV∑n≥0fn CVS sur I∑n=0+∞fn∈Cpm0(I))\begin{pmatrix} (f_n)_{n\geq0} \in (\mathcal C^0_{pm}(I,F))^\N \\ \sum_{n\geq0} \int_I |f_n(t)|dt \ \text{CV} \\ \sum_{n\geq0}f_n \ \text{CVS sur} \ I \\ \sum_{n=0}^{+\infin}f_n \in \mathcal C^0_{pm}(I) \end{pmatrix}

⇒(∫I∑n=0+∞fn(t)dt=∑n=0+∞∫Ifn(t)dt)\Rightarrow (\int_I \sum_{n=0}^{+\infin} f_n(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infin}\int_I f_n(t) dt)

Intégrales à paramètre

Continuité

AA partie non vide d'un espace normé de dimension finie

(∀x∈A,(t→f(x,t))∈Cpm0(I)∀t∈I,(x→f(x,t))∈C0(A)∃φ:I→R inteˊgrables sur I / ∀x∈A,∀t∈I,∣f(x,t)∣≤φ(t))\begin{pmatrix} \forall x \in A, (t\rightarrow f(x,t)) \in \mathcal C_{pm}^0(I)\\ \forall t \in I, (x\rightarrow f(x,t)) \in \mathcal C^0(A)\\ \exists \varphi :I\rightarrow \R \ \text{intégrables sur} \ I \ / \ \forall x \in A,\forall t \in I, |f(x,t)| \leq \varphi(t) \end{pmatrix}

⇒((x→∫If(x,t)dt)∈C0(A))\Rightarrow ((x \rightarrow \int_I f(x,t)dt) \in \mathcal C^0(A))

Dérivation

(∀x∈J,(t→f(x,t))∈Cpm0(I) et inteˊgrable sur I∀t∈I,(x→f(x,t)) deˊrivable sur J∀x∈J,(t→∂f∂x(x,t))∈Cpm0(I)∃φ:I→R inteˊgrables sur tout segment de I /∀x∈J,∀t∈I,∣∂f∂x(x,t)∣≤φ(t))\begin{pmatrix} \forall x \in J, (t \rightarrow f(x,t)) \in \mathcal C^0_{pm}(I) \ \text{et intégrable sur} \ I \\ \forall t \in I, (x \rightarrow f(x,t)) \ \text{dérivable sur} \ J \\ \forall x \in J, (t \rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)) \in \mathcal C^0_{pm}(I) \\ \exists \varphi : I \rightarrow \R \ \text{intégrables sur tout segment de} \ I \ / \\ \forall x \in J, \forall t\in I, |\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)| \leq \varphi(t) \end{pmatrix}

⇒((x→∫If(x,t)dt) est deˊrivableDe deˊriveˊe (x→∫I∂f∂x(x,t)dt))\Rightarrow \begin{pmatrix} (x \rightarrow \int_I f(x,t) dt) \ \text{est dérivable} \\ \text{De dérivée} \ (x \rightarrow \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt) \end{pmatrix}