Classiques

Schéma Block

Transformée de Laplace

Equivalence avec la physique :

p=jωp = j\omega

Définition :

F(p)=∫0+∞e−ptf(t)dtF(p) = \int_{0}^{+\infin}e^{-pt}f(t)dt

Propriété :

F′(p)=p×F(p)−f(0)F'(p) = p\times F(p)-f(0)

FTBO

Rapport entre le retour de la boucle sur l'écart sans perturbation

HFTBO(p)=R(p)ϵ(p)=S(p)×K(p)S(p)H(p)=K(p)×H(p)H_{FTBO}(p) = \frac{R(p)}{\epsilon (p)} = \frac{S(p)\times K(p)}{\frac{S(p)}{H(p)}} = K(p) \times H(p)

FTBF

Rapport de la sortie sur l'entrée

HFTBP(p)=S(p)E(p)H_{FTBP}(p) = \frac{S(p)}{E(p)}

Or S(p)=H(p)(EaE(p)−S(p)K(p))=H(p)EaE(p)−S(p)H(p)K(p)S(p)=H(p) (E_aE(p)-S(p)K(p))=H(p)E_aE(p)-S(p)H(p)K(p)

Donc S(p)=H(p)EaE(p)1+H(p)K(p)S(p) = \frac{H(p)E_aE(p)}{1+H(p)K(p)}

D'où HFTBP(p)=H(p)EaE(p)1+H(p)K(p)E(p)=EaH(p)1+H(p)K(p)H_{FTBP}(p) = \frac{\frac{H(p)E_aE(p)}{1+H(p)K(p)}}{E(p)} = E_a\frac{H(p)}{1+H(p)K(p)}

Tableau des Caractéristiques de Bode

On étudit le gain et la phase :

GdB(ω)=20log⁡∣HFTBO(ω)∣G_{dB}(\omega) = 20\log |H_{FTBO}(\omega)|

φ(ω)=arg⁡(HFTBO(ω))\varphi(\omega) = \arg (H_{FTBO}(\omega))

Type Premier Ordre Premier Ordre Dérivé Second Ordre Second Ordre Dérivé Intégrateur Dérivateur
FTBO K1+τp\frac{K}{1 + \tau p} K(1+τp)K(1 + \tau p) K1+2ξω0p+p²ω0²\frac{K}{1+\frac{2 \xi}{\omega_0}p +\frac{p²}{\omega_0²}} K(1+2ξω0p+p²ω0²)K(1+\frac{2 \xi}{\omega_0}p +\frac{p²}{\omega_0²}) Kp\frac{K}{p} KpKp
Plateau (dB) 20×log⁡(K)20\times \log{(K)} 20×log⁡(K)20\times \log{(K)} 20×log⁡(K)20\times \log{(K)} 20×log⁡(K)20\times \log{(K)}
Pente (dB/dec) −20-20 2020 −40-40 4040 −20-20 2020
Coupure 1τ\frac{1}{\tau} 1τ\frac{1}{\tau} ω0\omega_0 ω0\omega_0 KK 1K\frac{1}{K}
Ecart Coupure (dB) −3-3 33 −20log⁡(2ξ)-20\log{(2\xi)} 20log⁡(2ξ)20\log{(2\xi)} 00 00
Phase haute (°) 00 9090 00 180180 00 9090
Phase basse (°) −90-90 00 −180-180 00 −90-90 00

De plus pour les seconds ordres, lorsque 22≥ξ\frac{\sqrt{2}}{2}\geq \xi, il existe une pulsation de raisonnance ωr=ω01−2ξ²\omega_r = \omega_0\sqrt{1-2\xi²} et telque GdB(ωr)=20log⁡K−20log⁡(2ξ1−ξ²)G_{dB}(\omega_r) = 20 \log K -20 \log (2\xi\sqrt{1-\xi²})

Etude de la precision

Ecart

Différence entre l'entrée du comparateur et le retour de la boucle :

ϵ(t)=ec(t)−r(t)\epsilon(t) = e_c(t) -r(t)

E(p)=Ec(p)−R(p)\Epsilon(p) = E_c(p) -R(p)

Dans le cas d'un système correctement asservis, on a KA=KCAPK_A = K_{CAP}

D'où ϵ(t)=Ncons(t)−Nmes(t)=e(t)KA−s(t)KCAP=KCAP(e(t)−s(t))\epsilon(t) = N_{cons}(t)-N_{mes}(t) = e(t)K_A - s(t)K_{CAP} =K_{CAP}(e(t)-s(t))

Et donc ϵ(t)=KCAPer(t)\epsilon(t) =K_{CAP}e_r(t)

Erreur dynamique

Différence entre l'entée (convertis) et la sortie :

er(t)=e(t)−s(t)e_r(t) = e(t) -s(t)

Er(p)=E(p)−S(p)E_r(p) = E(p) -S(p)

Dans le cas d'un retour unitaire (K(p)=1K(p) = 1) :

Er(p)=E(p)−E(p)HFTBP(p)=E(p)(1−H(p)1+H(p)K(p))E_r(p) = E(p) - E(p)H_{FTBP}(p) = E(p)(1-\frac{H(p)}{1+H(p)K(p)})

Er(p)=E(p)(1+H(p)−H(p)1+H(p))=E(p)1+H(p)E_r(p) = E(p)(\frac{1+H(p) -H(p)}{1+H(p)}) = \frac{E(p)}{1+H(p)}

Erreur statique

Limite de l'erreur dynamique en l'infini :

eRS=lim⁡t→+∞eR(t)e_{RS} = \lim\limits_{t \to +\infin} e_R(t)

D'après le théorème de la valeur finale (dans le cas d'un retour unitaire):

eRS=lim⁡p→0pER(p)=lim⁡p→0pEaE(p)1+H(p)e_{RS} = \lim\limits_{p \to 0} pE_R(p) = \lim\limits_{p \to 0} p\frac{E_aE(p)}{1+H(p)}

Erreurs de poursuites

En posant H(p)=KpαH(p) = \frac{K}{p^\alpha}

On a eRS=lim⁡p→0pEaE(p)1+Kpα=Ealim⁡p→0pα+1E(p)pα+Ke_{RS} = \lim\limits_{p \to 0} p\frac{E_aE(p)}{1+\frac{K}{p^\alpha}}=E_a\lim\limits_{p \to 0} p^{\alpha+1}\frac{E(p)}{p^\alpha+K}

Type d'erreur Position Traînage Accélération
Entée échelon (constante) rampe (linéaire) parabole
E(p)E(p) E0p\frac{E_0}{p} V0p²\frac{V_0}{p²} a0p3\frac{a_0}{p^3}
α=0\alpha = 0 E01+K\frac{E_0}{1+K} +∞+\infin +∞+\infin
α=1\alpha = 1 00 V0K\frac{V_0}{K} +∞+\infin
α=2\alpha = 2 00 00 a0K\frac{a_0}{K}

Précision en régulation

D'après le théorème de superposition :

S(p)=11+H1(p)H2(p)E(p)−H2(p)1+H1(p)H2(p)Pert(p)S(p) = \frac{1}{1+H_1(p)H_2(p)}E(p)-\frac{H_2(p)}{1+H_1(p)H_2(p)}Pert(p)

D'où Er(p)=E(p)−S(p)=11+H1(p)H2(p)E(p)−H2(p)1+H1(p)H2(p)Pert(p)E_r(p) = E(p) -S(p) = \frac{1}{1+H_1(p)H_2(p)}E(p)-\frac{H_2(p)}{1+H_1(p)H_2(p)}Pert(p)

Le terme dépendant de E(p)E(p) est l'erreur de poursuite, celui selon Pert(p)Pert(p) est l'erreur de perturbation qui nous intéresse ici. Posons Pert(p)=AprPert(p) = \frac{A}{p^r}

D'après le théorème de la valeur finale :

Er,reˊgulation(p)=−lim⁡p→0p×H2(p)1+H1(p)H2(p)×AprE_{r,régulation}(p) = -\lim\limits_{p \to 0} p\times \frac{H_2(p)}{1+H_1(p)H_2(p)}\times \frac{A}{p^r}

En posant lim⁡p→0H2(p)=K2pα2\lim\limits_{p \to 0} H_2(p) = \frac{K_2}{p^{\alpha_2}} et lim⁡p→0H1(p)=K1pα1\lim\limits_{p \to 0} H_1(p) = \frac{K_1}{p^{\alpha_1}}

On a Er,reˊgulation(p)=lim⁡p→0−K2pα21+K1pα1K2pα2Apr−1=−lim⁡p→0AK11pr−1−α1E_{r,régulation}(p) = \lim\limits_{p \to 0} \frac{-\frac{K_2}{p^{\alpha_2}}}{1+\frac{K_1}{p^{\alpha_1}}\frac{K_2}{p^{\alpha_2}}}\frac{A}{p^{r-1}} = -\lim\limits_{p \to 0} \frac{A}{K_1}\frac{1}{p^{r-1-\alpha1}}

α1\alpha_1 ≥r−1\geq r-1 =r−1= r-1 <r−1< r-1
Er,reˊgulation(p)E_{r,régulation}(p) 00 −AK1-\frac{A}{K_1} +∞+\infin

En ajoutant des intégrateur avant la perturbation, on peut en éliminer les effets !

Etude de la stabilité

Critère du revers

Un système est stable en boucle fermé si :

Marges de stabilités

Marge de gain

Ecart entre 0 et la valeur de H en ω−180°\omega_{-180°} :

MG=0dB−∣GdB(ω−180°)∣M_G = 0_{dB} - |G_{dB}(\omega_{-180°})|

Marge de phase

Ecart entre −180°-180° et φ(ω0dB)\varphi(\omega_{0dB})

Mφ=180+∣φ(ω0dB)∣M_\varphi = 180 + |\varphi(\omega_{0dB})|